技術メモ

役に立てる技術的な何か、時々自分用の覚書。幅広く色々なことに興味があります。

FXを始めて、金融工学の触りを学んで感じたこと

Finance


FXに興味が出てきて、バーチャルトレードで短期投資をしてたんだけど、10万円くらい負けてもうやめてやろうかと思った。
それで、負けん気というか、儲けてる奴は何をしてるんだろうと思って色々調べていると金融工学の分野に辿り着いてしまった。勉強していくうちに面白くなってきたので、FXも金融工学も素人だけど素人なりに調べたり考えたりしたことをメモする。

FXで儲けることとは

FXで儲けることは基本的には
「安く買って高く売る」
ことである。でもその中でも戦略がいくつかある。

  • 短期投資
  • 長期投資
    • 長期のトレンドで儲ける
    • 長期のスワップで儲ける

短期投資は10分後に為替がどうなるかを当てること、単純に当たったら儲かる。
テクニカル分析とか胡散臭い方法論は出回っているけれど、短期だとほとんどギャンブルだ。
相場が上がるか下がるかはほとんどランダムに近いからだ。

長期投資はその名の通り、長期(1週間〜数ヶ月)にわたって通貨を持つこと。
戦略は二種類に分かれる。短期投資と同じように上げ下げを当てる方法と、スワップと言って配当金みたいなものを目当てに儲ける方法。

金融工学の役割

金融工学がFXにどう影響するか

誤解されがちなのが、金融工学は将来の為替相場をきっちり当てるのが目標だと思われることがある。僕も勉強を始める前はそう思っていた。しかし、金融工学の立場ではむしろ値動きは不確定な要素だと受け入れた上で、いかに正しく期待値を計算するかというところに注力される。
さっきも言ったように5分後の値動きなんかは本当に誰にも予測がつかない。ここに金融工学が割り込む余地はない。

だからこそ、金融工学が貢献するのは長期投資の方だ。例えばスワップを目当てにする取引の場合、期待値とスワップの価格が釣り合っていないような通貨ペアを計算しローリスクで利益を生むようなポートフォリオを組み立てるといった応用例がある。
特に「将来X円で売る（買う）権利」自体を取引することがあってこれをオプションと言うが、このオプションの値段を決めたりあるいは自分に有利なオプションを組んだりするのが金融工学の役割である。

FXにおける金融工学の目的

金融工学の目的は大きくいってしまえば、
１．「リスク自体の価格の正当な評価」
２．「評価のズレから生まれる違いを利用して儲ける方法」
の2軸になっている。
すごく大きく分けたので、もう少し詳しく話すと。
１の中には金融商品の価格決定とか、法改正が金利に与える影響の推定とかがある。（追記：他に、銀行が保有する金融商品や与信に対して手元に保有しておくべき資産を算定するのに使われる（バーゼル規制などと呼ばれる国際的な指標があり、金融商品取引法に定められている。））
２の中には新しい金融商品・オプション商品の作成とか、リスクヘッジをしながらスワップで儲けるためのポートフォリオ作成とかがある。

例えば、有名なサブプライムローン問題なんかは土地価格の高騰が前提となっていた金融商品が、土地価格の高騰が止まってしまったことによって期待値と実際の価格に違いが出てしまった*1。そこに目を付けた金融屋さんがサブプライムローンを空売りして儲け逃げしてしまった。これは１による正当な価格の評価がうまく機能せず、２のタイプの金融屋さんに痛いところを突かれた、ということになる。

まあでもこの２つの括りでおおむね間違いないだろう。
すなわち
「期待値を０にしよう」という方向性と
「期待値の差を利用して儲けよう」という方向性の
イタチごっこになってしまっているわけだ。
強固な暗号を考えることと暗号を破る方法を考える暗号理論に似ているとも言える。

金融工学の社会的貢献

でも暗号理論と違うところは、結局誰も幸せにならないんじゃないかということ。
暗号理論は暗号を作ることと破ることのイタチごっこにより、素人では簡単に破れない強固な暗号を生み出してきた。
今やブロックチェーンやクレジット決済などのセキュリティの分野で無くてはならないものになっている。
でも金融工学はどうだろうか。
結局誰が幸せになるんだろう。為替を取引するプレーヤは幸せになるとして、FXには直接関係ない人たちにどういう良い影響を及ぼせるんだろうか。
例えばさきほどのサブプライムローンの話では、目先のお金のない人にも家を買える夢を与えることができた。貢献があるとすればそういう事だろうか。しかし、一方でサブプライムローン問題を引き起こしたのも金融工学の功罪であり、金融工学に対する不信感は拭えない。

追記（2022）

仕事で曲がりなりにも金融工学（特に１のリスク評価について）の世界に触れる事ができたので追記。
バニラオプション（単純なヨーロピアンオプション）については意義がわかった気はする。経営や家計のやり取りをするにおいては見通しが立っている方が動きやすいことがある、例えば為替の予約や住宅ローンの固定金利など、多少損してでも良いから１年後の為替レートを確定しておきたいこれから30年払う金利を確定しておきたいという場合がある。特に企業の場合は不渡りを起こすと倒産につながるので不渡りを起こさないように資産をギリギリでやりくりするのはとても大事なことだ（会計の世界では資産が有り余れば良いというわけではないので特にそういったバランス感覚が大事になる）。そういった為替レートの予約や住宅ローンの固定金利の適正金利を計算したりする時に役立っているのが金融工学だ。
ただ、たしかに複雑な金融商品をリスク評価することに果たして社会貢献的な面があるのか？という疑問は拭いきれなかった。
ルックバックオプション、バミューダンスワップション、コーラブルリバースフローター型デュアルカレンシー債、ノックアウト型日経平均リンク債、など調べてもらうとわかるがただただ複雑にしてるだけだ。誰がどう嬉しいのか全くわからない。証券会社のセールスが証券を売りつけるためにわざと複雑に作っているとしか思えない。起こりえない（と思える）ようなリスクは無視してできるだけ高く見せようとしてるだけだ。実際その起こりえないことが起こったら大損。ファットテールな現実世界でスイスフランショックのようなことが起こらないわけではない。

リスク評価という枠組みからは出ないが、金融商品に限らず天災や損保など確率的な事象のリスクに伴う金銭的価値を金融工学を使って求めようというリアルオプションという世界や相手が倒産する確率も含めた契約（OTC取引）の適正価格を求めようというXVA世界があり、単純にFXや株の世界とは違う分野で活躍している。
変な仕組債や複雑な金融商品を作って誰が嬉しいのかわからないものを作るよりは個人的にはよっぽど有意義な世界だと思う。

雑感

確率的な考え方は統計学と相性が良く、学問領域としては面白い。

*1:金融商品が複雑化しすぎて適切なプライシングができない状況だった

pythonで正規性の検定【コロモゴロフスミルノフ検定（KS検定）】

統計

確率分布が正規分布に従うか調べたい、
二つの集団が同じ確率分布から得られたものか調べたい、
といった時に使うのが、コロモゴロフスミルノフ検定(Kolmogorov–Smirnov test)

コルモゴロフ–スミルノフ検定（コルモゴロフ–スミルノフけんてい、英: Kolmogorov–Smirnov test）は統計学における仮説検定の一種であり、有限個の標本に基づいて、二つの母集団の確率分布が異なるものであるかどうか、あるいは母集団の確率分布が帰無仮説で提示された分布と異なっているかどうかを調べるために用いられる。しばしばKS検定と略される。
1標本KS検定は、経験分布を帰無仮説において示された累積分布関数と比較する。主な応用は、正規分布および一様分布に関する適合度検定である。正規分布に関する検定については、リリフォースによる若干の改良が知られている（リリフォース検定）。正規分布の場合、一般にはリリフォース検定よりもシャピロ-ウィルク検定やアンダーソン-ダーリング検定の方がより強力な手法である。
2標本KS検定は、二つの標本を比較する最も有効かつ一般的なノンパラメトリック手法の一つである。これは、この手法が二つの標本に関する経験分布の位置および形状の双方に依存するためである。
wikipedia:コルモゴロフ-スミルノフ検定

pythonではscipyで用意されている。

1標本の場合

from scipy import stats
stats.kstest(rvs, cdf, args=(), N=20, alternative='two-sided', mode='approx')

rvs:データor単語
cdf:累積分布
args:分布の形状を指すパラメータ（必要に応じて）

p値はpvalueで取り出す。

試してみる

の3つに対して、正確に分けられるかチェック。
正規分布のデータは正規分布だと、そうでないデータは正規分布ではないと判別してほしい。

x = stats.norm.rvs(size=500)
y = stats.cauchy.rvs(size=500)
z = stats.t.rvs(3,size=500)
print(stats.kstest(x,"norm").pvalue)
print(stats.kstest(y,"norm").pvalue)
print(stats.kstest(z,"norm").pvalue)

0.611401246262    #正規分布(>0.05)
8.59754489824e-11 #コーシー分布(<0.05)
0.0135550060406   #t分布(<0.05)

正規分布とそうでない分布がきちんと判別できていることがわかる。
※帰無仮説の本来の意味からもわかるように、p値が基準値を下回らなくても正規分布と断定することはできないことに注意。

【補足】KS検定 vs. シャピロ-ウィルク検定

正規性の検定に限っては、wikipediaに載っているようにシャピロウィルク検定が良いらしい。
幸いscipyで実装されているようだったので、試してみる。

>>> from scipy import stats
>>> np.random.seed(12345678)
>>> x = stats.norm.rvs(loc=5, scale=3, size=100)
>>> stats.shapiro(x)
(0.9772805571556091, 0.08144091814756393)
  • 方法

性能を比較するため、サンプルサイズを25～500の間を25刻みで増やしていく。
コーシー分布、t分布(自由度3)、正規分布のそれぞれの分布・サンプルサイズに対して40回のサンプリングを行い、得られたp値の平均値をプロットする。
どれくらいのサンプルサイズだと誤判別が起きないかを確認してみる。有意水準は95%とした。

1. コロモゴロフスミルノフ検定

2. シャピロウィルク検定

コーシー分布・ｔ分布のどちらともが点線（5％）を下回っていれば判別できている（正規分布ではないと判断している）ということだが、シャピロウィルク検定はサンプルサイズが小さくてもよく判別できているといえる。
シャピロウィルク検定の場合サンプルサイズが100程度あれば十分かも。
また、どちらの検定でも正規分布なのに正規分布でないと判断してしまうことはなかった。

使ったコード

samplesize = range(25,525,25)
samplingnum = 40
xlist = []
ylist = []
zlist = []
for i in samplesize:
    xsampling = []
    ysampling = []
    zsampling = []
    for j in range(samplingnum):
        x = stats.norm.rvs(size=i)
        y = stats.cauchy.rvs(size=i)
        z = stats.t.rvs(3, size=i)
        xsampling.append(stats.shapiro(x)[1])
        ysampling.append(stats.shapiro(y)[1])
        zsampling.append(stats.shapiro(z)[1])
    xlist.append(sum(xsampling)*1.0/samplingnum)
    ylist.append(sum(ysampling)*1.0/samplingnum)
    zlist.append(sum(zsampling)*1.0/samplingnum)
plt.plot(samplesize,xlist, label="norm")
plt.plot(samplesize,ylist, label="cauchy")
plt.plot(samplesize,zlist, label="t (3)")
plt.plot(samplesize,[0.05 for i in range(len(samplesize))], "--", color="black")
plt.legend()
plt.show()

2標本の比較

from scipy import stats
stats.ks_2samp(data1, data2)

データサイズは違っても構わない。

試してみる

①コーシー分布とコーシー分布
②コーシー分布とt分布（自由度３）
で比べてみる

y = stats.cauchy.rvs(size=500)
y1 = stats.cauchy.rvs(size=500)
z = stats.t.rvs(3, size=500)
print(stats.ks_2samp(y,y1).pvalue)
print(stats.ks_2samp(y,z).pvalue)

0.655550311167  # コーシー分布vsコーシー分布(>0.05)
0.022458470313  # コーシー分布vsｔ分布(<0.05)

5％の基準だと、きちんと判別できている。


公式サイト：
scipy.stats.shapiro — SciPy v0.19.0 Reference Guide
scipy.stats.kstest — SciPy v0.14.0 Reference Guide
scipy.stats.ks_2samp — SciPy v0.15.1 Reference Guide

二項分布の極限が正規分布になることの証明【正規近似の証明】

数学 統計

二項分布の試行回数を無限大に大きくしていくと正規分布に近づくことが知られている。
しかし、その証明は意外と知られていない。（中心極限定理でも証明は可能ではあるが、回りくどすぎて初学者には不親切）

eや\piが出てくるのがどうしても不思議で、自分なりに解こうとしたり調べてみた。
ようやくわかってきたので、自分的にわかりやすかった方法を記録しておく。
ただ、これはわかりやすさ重視の証明法らしい。
数学的に厳密じゃないところとか突っ込んでくれると嬉しいです。



予備知識

二項分布 : \displaystyle B(n,p)={}_n C_{x} p^x(1-p)^{n-x}

正規分布 : \displaystyle \mathcal{N}(\mu,\,\sigma^{2}) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\left(-\frac{(\mu - x)^2}{2\sigma^2}\right)

二項分布の正規近似 : \displaystyle \lim_{n \to \infty} B(n,p)=\mathcal{N}(np,\,np(1-p))

証明

方針

二項分布の対数をとった関数をTaylor展開し二次の項まで近似すると正規分布の対数になることを示す。

証明

二項分布の自然対数をとる．
\displaystyle \begin{equation} \begin{split} \log{B(n,p)} &= \log{{}_n C_{x} p^x(1-p)^{n-x}}\\ &= \log{\frac{n!}{x!(n-x)!} p^x(1-p)^{n-x}}\\ &= \log{n!} - \log{x!} - \log{(n-x)!} + x\log{p} + (n-x)\log{(1-p)}　 \end{split} \end{equation}
ここでTaylor展開を考えるにあたり，
\log{x!},\, \log{(n-x)!}
の項について考える．


補題として，
[補題１]
充分に大きい自然数kに対して
\displaystyle \log{k!} \simeq \int_1^k\log{t} dt
が成り立つことを示す。
[補題１証明]
2以上の自然数aに対して，\log{(t)}は単調増加であるので
\displaystyle \log{(a-1)} < \int_{a-1}^a \log{t} dt < \log{a}
が成り立つ．
したがって
\displaystyle \begin{equation} \log{(k-1)!} < \int_1^{k} \log{t} dt < \log{k!} \\ \frac{\log{(k-1)!}}{\log{k!}} < \frac{\int_1^{k} \log{t} dt}{\log{k!}} < 1 \end{equation}

十分に大きいkに対して
\displaystyle \frac{\log{(k-1)!}}{\log{k!}} = 1 - \frac{\log{k}}{\log{k!}} \simeq 1
である．*1
上式からはさみうちの原理より、
\displaystyle \frac{\int_1^{k} \log{t} dt}{\log{k!}} \simeq 1
となる．
よって
\displaystyle \log{k!}　\simeq \int_1^{k} \log{t} dt
[補題１証明終]


補題１の結果を元の式に代入数する．
x ,\, (n-x)が十分に大きいとき
\displaystyle \begin{equation} \begin{split} \log{B(n,p)} &= \log{n!} - \log{x!} - \log{(n-x)!} + x\log{p} + (n-x)\log{(1-p)}\\ &\simeq \log{n!} - \int_1^{x} \log{t} dt - \int_1^{n-x} \log{t} dt + x\log{p} + (n-x)\log{(1-p)} \end{split} \end{equation}
となる．

この変形によって微分を考えることができて，
一階微分、二階微分はそれぞれ
\displaystyle \begin{equation} \begin{split} \\(\log{B(n,p)})' &\simeq - \log{x} + \log{(n-x)} + \log{p} - \log{(1-p)} \\ \\(\log{B(n,p)})'' &\simeq - \frac{1}{x} - \frac{1}{n-x} \end{split} \end{equation}
となる．

\log{B(n,p)}を平均値の周りでTaylor展開する．
ただし、平均値と分散は二項分布の性質から定まる（平均 \mu = np、 分散 \sigma^2 = np(1-p)）

\displaystyle \begin{equation} \begin{split} \log{B(n,p)} &\simeq \log{B(x=\mu | n,p)} + (\log{B(x=\mu | n,p)})'(x-\mu) + \frac{1}{2!}(\log{B(x=\mu | n,p)})''(x - \mu)^2 \\ &\simeq \log{B(x=\mu | n,p)} - \frac{1}{2np(1-p)}(x - \mu)^2 \\ &= \log{B(x=\mu | n,p)} - \frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2} \end{split} \end{equation}

ここで，第一項は定数なので、\log{C}とおいておく．
（近似の過程で確率密度の制約条件「定義域全域で積分すると１になる」が抜けてしまうため、改めて係数を求める必要がある．）

求める確率分布をN(x)とすると，
\displaystyle \begin{equation} \begin{split} \log{N(x)} &\simeq \log{C} - \frac{1}{2\sigma^2}(x - \mu)^2 \\ N(x) &\simeq C \exp{\left(-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}\right)} \end{split} \end{equation}
これで変数部分まで求めることができた．

最後に，
先ほども述べたように，確率密度の制約条件を満たすよう係数を決定しなければいけない．
すなわち，
\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} N(x) dx = 1
となるCを求める．


補題として、
[補題2]
\displaystyle \int_{0}^{\infty} e^{-x^2} dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}
を示す．（※ガウス積分）
[補題2証明]
\displaystyle I(R) = \int_{0}^{R} e^{-x^2} dx
とおくと、証明すべきは
\displaystyle \lim_{R \to \infty}I(R) = \frac{\sqrt{\pi}}{2}
である．

\displaystyle (I(R))^2 = I(R)I(R) = \int_{0}^{R}\int_{0}^{R} e^{-(x^2+y^2)}dxdy
とおくと，この積分領域はxy平面上における一辺Rの正方形である．
一方で次のような扇状の積分範囲を定義すると，
D(R) = \left\{(x,y)\,|\, x\geq 0,\, y \geq 0,\, x^2+y^2 \le R^2 \right\}
次のような大小関係が成り立つ
\displaystyle \int\int_{D(R)} e^{-(x^2+y^2)}dxdy < (I(R))^2 < \int\int_{D(\sqrt{2}R)} e^{-(x^2+y^2)}dxdy

ここで，
\displaystyle J(R) = \int\int_{D(R)} e^{-(x^2+y^2)}dxdy
とする．
\displaystyle \lim_{R \to \infty} J(R) = \frac{\pi}{4}
となることから，はさみうちの原理より(I(R))^2 = \sqrt{\pi}/4となることを示す．

J(R)を極座標表示に変換して計算する
x = r\cos{\theta} , \, y = r\sin{\theta} \\ 0 \leq r \leq R ,\, 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}
として，
\displaystyle \begin{equation} \begin{split} J(R) &= \int_{0}^{R}\int_{0}^{\pi/2} e^{-r^2} r d\theta dr \\ &= \left\{\int_{0}^{R} re^{-r^2} dr \right\} \left\{\int_{0}^{\pi/2} 1 d\theta \right\} \\ &= \frac{\pi}{2}\left[ - \frac{1}{2} e^{-r^2} \right]_{0}^{R} \\ &= \frac{\pi}{4}\left( 1 - e^{-R^2} \right) \end{split} \end{equation}

Rが十分に大きいとき，
\displaystyle \begin{equation} J(R) = \frac{\pi}{4} \\ J(\sqrt{2}R) = \frac{\pi}{4} \end{equation}
であることがわかる．

はさみうちの原理より，
\displaystyle \begin{equation} \begin{split} (I(R))^2 &= \frac{\pi}{4} \\ I(R) &= \frac{\sqrt{\pi}}{2} \end{split} \end{equation}

が示された．
\displaystyle \left(\int_{0}^{\infty} e^{-x^2} dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \right)
[補題2証明終]


補題２の結果から，係数Cを求める．
x = \sqrt{2}\sigma X +\mu
と変数変換することで，
\displaystyle \begin{equation} \begin{split} \int_{-\infty}^{\infty} N(x) dx &= \int_{-\infty}^{\infty} C \exp{\left(-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}\right)} dx \\ &= \sqrt{2}\sigma C \int_{-\infty}^{\infty} e^{-X^2}dX \\ &= \sqrt{2\pi\sigma^2} C \end{split} \end{equation}
から，
\displaystyle C=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}
が求まる．

以上から，
\displaystyle \lim_{n \to \infty} B(n,p) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)
となり，二項分布の極限は正規分布に近似されることが証明された．
[証明終]

*1:コメントに証明のあらすじを書いてくれている方がいます。ありがとうございます。